Estructura Cardinal y Ordinal

en el Conjunto de los Números Naturales

 

Por:

Antonio Alvarez

Universidad Central de Venezuela

 

1.        Idealidad objetiva de los números

 

En el mundo que nos hallamos siendo, encontramos y manejamos múltiples objetos. Aunque claro, no todos los objetos poseen la misma estructura óntica, ya que hay objetos reales y objetos ideales. De estos últimos nos vamos a ocupar en el presente trabajo y específicamente a una clase de objetos ideales que usamos todos los días: los números naturales.

 

Ahora bien, los números naturales -como objetos ideales que son- poseen al igual que otros objetos ideales una estructura propia, independiente de que sean conocidos o no, ya que dichos objetos son lo que son. Es decir, son seres que no se dan en el tiempo, son intemporales. Tampoco son causados por nada, ya que ellos no proceden de ningún objeto, sino que al contrario, son cada uno un objeto independiente de los otros, teniendo una relación de implicación unos con otros. El triángulo implica líneas, pero las líneas no son causa del triángulo, sino que ellas se colocan en la relación de cortarse de dos a dos y por ello hay triángulos. Lo mismo vale para las números: cada uno de ellos es lo que es (sin poseer materia en la cual concretarse) pero con la posibilidad de establecer relaciones con objetos reales, ya que, por ejemplo, con  figuras geométricas el hombre ha hecho agrimensura y arquitectura, y con los números naturales realizamos las operaciones básicas -desde el comercio hasta el cálculo de distancias espaciales-. Aunque ellos mismos no son propiedades de ningún objeto real, se establece una relación coordinada con los mismos.

 

Por ello, la intemporalidad, la no-causalidad, conforman lo que llamamos idealidad objetiva. Es decir, dichos objetos son, aunque no en las mismas condiciones que una mesa o la computadora donde escribo estas líneas, ya que el número no comienza a ser, sino que es, cada uno independiente del otro. Por ejemplo, el 2 no es efecto de la adición del uno consigo mismo, sino que el 2 es el dos y el uno es el 1. Cada número es un total igual a sí mismo, eterno y no causado; no es un todo compuesto de partes sino que son totales, sin que les falte nada en perfecta relación consigo mismo.

 

Debemos aclarar la naturaleza o esencia propia de estos peculiares objetos que llamamos número natural, los cuales son fundamentales para las operaciones desde la aritmética, hasta la geometría analítica:

 

 “Toda la matemática pura tradicional incluyendo la geometría analítica, puede considerarse como compuesta en su totalidad por proposiciones acerca de los números naturales. Es decir, que los términos que en ella intervienen pueden definirse mediante dichos números, y que las proposiciones pueden deducirse de las propiedades de los mismos, agregando en todo caso proposiciones e ideas de la Lógica pura.”[1]

Ahora bien ¿Cómo usamos los números? Pues si cada uno de ellos es una “esfera parmenídica ideal”, ¿cómo ponerlos en relación con los objetos reales? La respuesta radica en una tajante distinción de lo psicológico (representación subjetiva de cualquier número) y de sus propiedades y relaciones lógicas puras, independientes de la conciencia que los puede pensar. Dichas propiedades y relaciones se expresan en proposiciones analíticas a priori, necesarias y universales:

 

“Proposiciones analíticamente necesarias son proposiciones tales que su verdad es completamente independiente de la peculiaridad material de sus objetos (pensados detenidamente o en generalidad indeterminada) y de la eventual efectividad del caso, así como la validez de la posición eventual de existencia; proposiciones, por tanto, que pueden formalizarse por completo y concebirse como casos especiales o aplicaciones empíricas de las leyes formales o analíticas nacidas válidamente de dicha formalización. En una proposición analítica debe ser posible sustituir toda materia objetiva (conservando plenamente la forma lógica de la proposición) por la forma vacía algo.”[2]

 

De donde colegimos que si bien podemos imaginar cuatro cosas (cualesquiera que sean), ello no conviene como propiedad del número cuatro, ya que dicho objeto es la clase (conjunto) de todos los cuartetos, o cosas numerables en cuatro, y para ello no es necesario tener la imagen de cuatro puntos o lo que sea, ya que dicho objeto se puede expresar en relaciones lógicas puras necesarias, que dan cuenta de la esencia de dicho número. Esta aclaración nos lleva a distinguir el signo por medio del cual expresamos un objeto, del objeto mismo, ya que el cuatro no es “4”, sino que es toto caelo, distinto dicho símbolo de lo que significa. Bien podemos decir “four”  y ello no afecta en nada al objeto ideal perfecto que conocemos como cuatro. Menos aun hay que confundir la imagen mentada por el signo con aquello a lo que se refiere (el objeto en cuanto tal), sino que hay que distinguirlas ambas, ya que de nos ser así no podríamos hacer ciencia con dichos objetos. Tal y como lo pone de manifiesto García Bacca en el concepto de ciencia actual:

 

 “Ciencia descarta de primer plano (temático, explícito) la conciencia; en segundo plano o fondo es necesariamente posible que la ciencia sea conciencia o tener conciencia de la ciencia.”[3]

 

¿Qué quiere decir esto? Pues que la conciencia se instala en los objetos a estudiar, dando por presupuesto el “yo pienso” que acompaña constantemente todas nuestras acciones, pero sin atender a la modificación de la misma, pone presente lo que le interesa y ha fijado su atención. Es decir, atendiendo al objeto con la co-presencia de la conciencia. El matemático, al pensar en el triángulo, por lo general no piensa en cosas triangulares, sino que atiende a la pura forma: es decir, al objeto triángulo, sin pensar en el juguete de su hijo de forma triangular y cosas por el estilo. El matemático, al atender al triángulo en cuanto tal, trata de hacer explícitas las propiedades del mismo y sus relaciones en el plano con otras figuras, sin importarle nada más.

 

Por ello para poder hacer ciencia del número y hacer explícita sus propiedades y relaciones, es necesario descartar la presencia de la modificación de la conciencia al pensar dichos objetos, para de esa manera  estar ante la presencialidad pura del objeto a estudiar.

 

2.         El conjunto de los números naturales

 

2.1.- Conjunto (clase) no es un conglomerado (agregado)

 

Es necesario distinguir la referencia del término Conglomerado del de Conjunto. Al primero, García Bacca lo define de la siguiente manera:

 “Diremos que muchos y variados objetos; a, b, c…   ,   ,    , A, B, C… se hallan unidos en “conglomerado”, o con unidad de conglomerado, cuando la unidad que los unifique sea del tipo y.[4]

Es decir, cuando formamos un conglomerado de cosas, no hay un criterio  que los deslinde por propiedades comunes de otros tipos de objetos, por lo que podemos agregar desde pez y agua y 1/8 y triángulo y punto y circunferencia y mesa,  etc.

 

Ahora bien un conglomerado poseerá las siguientes propiedades: indiscriminalidad (no-coherencia en el tipo de objetos que se agrupan); innumerabilidad (pocos o muchos); conmutabilidad (no hay orden); asociabilidad (vale tanto a y b como b y a). Por ello será cuestión de un plan (proyecto, designio y decisión) el formar conjuntos específicos, es decir, el mismo tipo de objetos bajo un conjunto.

 

Un Conjunto se define de la siguiente manera:

 

“Se dirá que muchos y variados objetos se hallan unificados en conjunto (unidad de tipo conjunto), si la unidad que los une es de tipo deslinde. O sea: fija una condición general de pertenencia por la que todos los elementos de un conglomerado inicial del Conglomerado inicial, separa tales o cuales, tantos o cuantos entrarán dentro de los límites prefijados los demás no.”

 

Para  nuestro estudio deslindaremos -y por ende unificaremos- el conjunto de los números naturales y no los reales o los imaginarios. Es decir, nuestro plan es hacer explícita las propiedades de dichos objetos y no otros, por ello se tratara de una decisión de tipo arbitrario el formar dicho conjunto: Llamemos “conjunto arbitrario” al que señala sus elementos por la condición: “estos y no otros”, “estos ni más ni menos”; lo cual es separarlos de los demás y, por separarlos, quedan (mínimamente) negativamente unidos; resultan ser éstos solos y no otros. Podemos, pues, notar que en la definición de conjunto pueden entrar los siguientes aspectos: (a) la condición general: éstos ni más ni menos; (b) una condición especial que determine quiénes son éstos, o porque entran; (c) la separación de los demás.” Y mas adelante agrega: “A un conjunto que llene las tres condiciones (a), (b), (c) se llamará normal.[5] Por ello afirmamos; el conjunto de los números naturales será un conjunto normal y por lo tanto ordenable, ya que en él se cumplen las propiedades de conmutatividad y asociatividad, mas no las de indiscriminación e innumerabilidad, aunque entre los elementos unidos en tal conjunto todavía no hay orden, ya que formamos el conjunto de los números naturales sin  dar una regla que los ordene serialmente.

 

2.2.- Necesidad de la definición por intensión (comprensión) e imposibilidad de definir por extensión. Uso de relaciones binarias para tal fin.

 

Para poder definir el número, en términos de relaciones lógicas puras, es necesario tener en cuenta el uso que le damos a los mismos. Es decir, la operación más simple y sencilla (intuitiva) que llamamos contar o decir cuantos objetos caen  o cumplen con determinada propiedad (concepto): “El acto de contar consiste, precisamente, en establecer una correlación biunívoca entre el conjunto de objetos contados  y los números naturales (excluyendo el 0) utilizados en el proceso. De acuerdo con ello, el sentido común concluye que hay tantos objetos en el conjunto como números hasta el último empleado.”[6] Ahora bien, de esto podemos afirmar que no es posible hacer una definición por enumeración de los números, ya que estos mismos son una colección infinita (y para conocer una clase dada no es necesario conocer todos los objetos que caen bajo esa clase), por ello se hace necesario definirlos por sus propiedades esenciales y las relaciones que guardan con el uso que les damos. Esto significa contar o correlacionar los elementos u objetos de un conjunto con el número que le corresponda a dichos objetos. Por ello se establece una relación binaria entre la clase de clases que es un número cualquiera con los objetos que caen bajo un determinado concepto, debido a que: “Un número es algo que caracteriza a determinadas colecciones, a saber a  aquellas que tienen tal número.”[7]

 

Por lo que es necesario establecer o definir el concepto de igualdad o equinumericidad entre un número cualquiera y el concepto que enumera.

 

Antes es necesario aclarar que tanto la noción de conjunto (clase), la de pertenencia (caer un objeto en tal concepto o tal objeto cumple con la propiedad) y la de elemento (objeto), deben considerarse como términos primitivos (intuitivos), que de por sí no se definen, sino que a lo sumo lo único que se puede brindar es una alusión para que el lector se haga la misma idea que aquí tratamos de exponer, ya que en el camino de las definiciones se tiene que partir de lo tomado arbitrariamente como indefinible. Es decir, que no necesite definirse, sino que con él se puedan hacer definiciones, de lo contrario se procedería a una regresión al infinito que imposibilitaría cualquier definición.

 

2.3.- Definición del número cardinal

 

Para obtener la definición del número en general, es decir, (1, 4, 7,  100000, etc.), es necesario hacer explicita la aparición de un número en una proposición, en donde se observa que el número no se predica de los objetos directamente, sino de los conceptos, por lo tanto el número será un predicado de segundo orden[8] que hace referencia a los objetos por medio del concepto que enumera. Para ello es necesario definir la equinumericidad: “el número que corresponde al concepto F, es la extensión del concepto “equinumérico respecto al concepto F”[9], es decir la relación que guarda un número consigo mismo, o igualdad (propiedad reflexiva), del número cardinal.

 

Luego -una vez que hemos definido la igualdad en términos lógicos puros, es decir, necesarios y a priori- centrando nuestra atención en la puridad de la relación, independientemente de la contextura que pueda tomar (cualquier número), es imperativo coordinar el número de objetos que caen bajo un concepto, con el número especifico, con el cual determinamos el “cuántos” de un concepto dado, por ello: “la extensión del concepto “equinumérico respecto al concepto F” es igual a la extensión  del concepto “equinumérico respecto al concepto G” es verdadera si y sólo si la proposición  “al concepto F corresponde el mismo número que al concepto G” también es verdadera”. Es decir, tenemos la propiedad de la relación binaria de simetría. Por ejemplo: tengo en mi mano cuatro lápices, pues bien, el número “4” será la clase de todas las clases de cosas que se agrupan en cuartetos, ya que establecemos una relación biunívoca entre los elementos que tengo en mi mano, y los elementos que corresponden al concepto “número cuatro”.

 

Luego, sólo nos falta hacer explicita la transitividad entre tres conjuntos dados, o mas bien la coordinación de dos conjuntos en un tercero: es decir si cada objeto que esta en a relación biunívoca de igualdad con una clase de clase, los elementos de ese conjunto lo estarán con un tercero si guardan la misma relación con este, es decir, “si a = b; b = c; luego a = c”; agréguese al ejemplo de los lápices, el conjunto de los instrumentos que sirven para escribir, es decir, los bolígrafos, las plumas, etc. Es decir al enunciar una propiedad cualquiera que deslinde un grupo de objetos de otros y hacemos coincidir dicha propiedad con otras que no estén incluidas en las primeras, formamos conjuntos de conjuntos, es decir la relación de inclusión de un conjunto en otro conjunto y a su vez  el primer conjunto también este incluido en un tercero pero sin ser igual a este,  dicho conjunto podrá tener otros elementos que a su vez sean también conjuntos y que incluyen al primero.

 

Finalmente podemos decir: “El número que corresponde al concepto F, es la extensión del concepto “equinumérico respecto al concepto F”, y agrego la expresión; “n es un número”, significa lo mismo que la expresión “hay un concepto de tal tipo que n es el número que le corresponde.”[10]

 

Finalmente, sólo nos queda definir el número cero o conjunto vacío; es decir aquél concepto en el cual ningún objeto cae o pertenece al mismo, que si bien es un tanto inútil, ya nunca podemos representarnos “cero cosas” o mas bien nunca contamos 0 cosas, si usamos expresiones como “no hay nada ahí”, que tiene sentido y a que referirse es decir a la Nada: “a cae bajo el concepto “no igual sí mismo significa lo mismo que “a no es igual a sí mismo” o que “a no es igual a a””[11] ya que si no hay nada que pueda ponerse en relación consigo mismo (reflexibilidad) ni coordinarse simétricamente con ningún concepto, se ha definido el primer elemento de la serie de los números naturales. Ya sólo nos faltaría definir en términos lógicos puros al sucesor de ese número teniendo en cuenta la relación antisimétrica de orden de “precedencia- secuente”, o  empleando la noción sucesor (S(n)= (n+1)) , que permitirá la generación de todos los números naturales a partir del 0

 

Por ello afirmamos que las propiedades que definen las relaciones que dan cuenta de cualquier clase de clases, es decir, cualquier número (cardinal), son reflexivas, simétricas y transitivas.

 

Para ello podemos emplear el principio de inducción matemática, que nos permite afirmar que si una propiedad se cumple para un número cualquiera, también se cumplirá para su sucesor, es decir el secuente con su respectivo precedente.

 

2.4.- Ordenación del conjunto de los números naturales: serie de los números naturales.

 

Para ordenar el conjunto de los números naturales debemos dar cuenta de la relación que mantienen dos miembros adyacentes de la misma. Para ello fundamentaremos primero el secuente del 0 (es decir el número 1), mediante la distinción de pertenencia e inclusión de una clase dada. Si decimos que al 0 le corresponde el concepto “no igual a si mismo”, decimos que no hay ningún elemento que pertenezca a dicha clase, pero el número que corresponde a dicha clase es el uno ya que el 0 es el concepto “igual  a 0, pero no igual a 0”. Con ello lo que queremos afirmar es la clase “conjunto vacío”  es una clase a la cual no pertenece ningún miembro. El confundir la pertenencia con la inclusión no nos permite afirmar que la clase vacía esta incluida en todos los números, mas no pertenece a la clase en la cual esta incluida.[12]

 

Por ello el 1 es el número que sigue en la serie al 0, o más bien 0 precede al 1 y ambos términos, como, los que sigan a 1 se denominan como “pertenecientes a la serie de los números naturales que terminan con n”. Por lo que la relación que mantienen los precedentes con su secuente, es una relación de uno a uno, que poseerá como propiedad la reflexibilidad y transitividad mas no la simetría, sino la a-simetría,[13] ya que cada miembro de la serie o está antes o después del otro y por ello se ordenan de acuerdo al número de unidades que posee cada número:

 “Cada número entero posee un cierto y determinado número de unidades (propiedad); convengamos en que el orden de tales números se fija por el número de unidades (relación de mayor –menor); 1, 2, 3, … n + 1…; y añadamos como regla de ordenamiento: un número precede a otro si tiene menos unidades que estotro”[14].

 

Aunque es necesario aclarar que el número cardinal no coincide con el ordinal ya que 0 es el primer número de la serie, 1 el segundo, más eso es una decisión arbitraria, es decir podemos comenzar la serie de los números naturales por el 1 o por el 0, lo hemos hecho partiendo del 0 ya que su definición no deja lagunas lógicas.

 

BIBLIOGRAFÍA

 

1.                                GARCÍA BACCA; Introducción a la lógica moderna; Madrid; editorial Labor, 1936

2.                                GARCÍA BACCA;  Teoría y Metateoría de la ciencia, tomo II; Caracas; editorial U.C.V; 1984

3.                                GARCÍA BACCA; Elementos de filosofía de las ciencias; Caracas; editorial U.C.V; 1967

4.                                FREGE, GOTTLOB; Fundamentos de la Aritmética; México; editorial UNAM; 1972

5.                                RUSSELL, BERTRAND; Obras completas; Madrid; editorial Aguilar; 1956

 

 

[1] Russell, Bertrand: Introducción a la filosofía matemática, p 1268

[2] Husserl, Edmund : Investigaciones Lógicas, tomo II, p 407

[3] García Bacca, J.D: Elementos de filosofía de las ciencias, p 25

[4] Ibid: Teoría y Metateoría de la ciencia: curso sistemático, p 471

[5] Ibid: Teoría y metateoría de la ciencia: curso sistemático,  p 476

[6] Russell, Bertrand: Introducción a la filosofía matemática, p1276

[7] Ibid: Introducción a la filosofía matemática, p1272

[8]  “Se dan clases de orden superior correspondientes a predicados de predicados. Así “ser ciudad” , “ser sociedad anónima”, “ser sociedad  de sociedades anónimas”…”ser federación internacional de sociedades de sociedades anónimas”… son funciones proposicionales de orden cada vez más elevado. Los individuos no pertenecen directamente a ellas sino a través de los predicados inferiores.”   ( García Bacca, J.D, “Introducción a la lógica moderna”,  p 161)

[9] Frege, Gottlob: Fundamentos de la Aritmética, p175

[10] Ibid: Fundamentos de la aritmética, p 180

[11] Ibid: Fundamentos de la aritmética, p 184

[12] “El número 0 es el número de términos  de una clase que no tiene términos, es decir, de la llamada “clase nula o vacía”. De acuerdo con la definición general de número, el número de elementos de la clase vacía es el conjunto de todas las clases similares a la clase vacía, es decir, el conjunto formado por la clase vacía únicamente, la clase cuyo único miembro es la clase vacía. (Esta otra clase no es idéntica a la clase vacía; aquella tiene un miembro, justamente la clase vacía, mientras la clase vacía no tiene ninguno). (Introducción a la filosofía matemática p 1279)

[13] “Se llama a-simétrica una relación cuando si se cumple entre A y B, nunca se cumple entre B y A. Así esposo, padre, abuelo, etc., son relaciones asimétricas. También lo son: antes,  después, mayor, encima, a la derecha de, etc. Todas las relaciones que originan series son de este tipo.” (Russell, Bertrand: Nuestro conocimiento del mundo exterior como campo para el método científico en filosofía, p 1170)

[14] García Bacca, J.D: Teoría y metateoría de la ciencia: curso sistemático, tomo II, p 481